Unidad II: Algebra booleana y lógica.
Tarea 2: Resuelva lso ejercicios del capitulo 9 del libro Discrete Mathematics for Computing del autor Rod Hagarty (9.1----9.12).
9.1. - Use tablas de verdad para establecer las leyes del Morgan’s.
Las tablas de verdad requeridas aparecen a continuación. Desde los valores en el examen final dos columnas son idénticas que las mesas verifican eso Del Morgan´s leyes sostenimiento.
p q p´ q´ p v q p´ ^ q´ (p v q)´
0 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 1 0 0
1 0 0 1 1 0 0
1 1 0 0 1 0 0
p q p´ q´ p ^ q p´v q´ (p ^ q)´
0 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 0 1 1
1 1 0 0 1 0 0
9.2.- con ayuda de las leyes del algebra booleana compruebe lo siguiente
a) (p^q)vr =pvqvr= (q)=q
=(pvq) v (rv(q^q))
= (pvq) v (r^(pvq))
=(pvq) v (r^(pvq))
=(pvq) v vr(pvq)
=pvq
1.- ((p ˄ q´) ˄ (r v (p ˄ q´))) ´ =
=(p ˄ q´) v (r v (p ˄ q´)) ´ por las leyes de Morgan´s
=(p´v q) v (r´^ (p ˄ q´)´) por las leyes de Morgan´s y el hecho que (q´)´=q
=(p´v q) v (r´^(p´v q)) por las leyes de Morgan´s
= ((p´v q) v r´) ^ (p´v q) por el distributivo y leyes de impotencia.
= p´v q por la absorción y leyes de impotencia.
9.3. - El hallazgo la forma normal disyuntiva del g = g (p, q, r, s) de función de Booleana) con la tabla de verdad mostrada en figura 919
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p |
q |
r |
s |
g |
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0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
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0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
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0 |
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1 |
0 |
1 |
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0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
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0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
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0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
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0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
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0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
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1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
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1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
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1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
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1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
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1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
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1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
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1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
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1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
p´q´r´s v p´q´rs´ v pq´rs v pqr´s
9.4.- Estructura la tabla de verdad para la expresión Booleana (p ^ (q ´ v r)) v (p´ ^ (q v r´)) y determina su forma normal disyuntiva.
Permita f = (p ^ (q´ v r)) v (p´ ^ (q v r´)). La Tabla de verdad para f se da en figura s9.2
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p |
q |
r |
q´ v r |
q v r´ |
p^(q´ v r) |
p´^(q v r´) |
f |
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0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
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0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
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0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
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0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
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1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
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1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
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1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
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1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
La forma normal disyuntiva es: p´q´r´ v p´qr´ v p´qr v pq´r´ v pq´r v pqr
9.5. - Escriba la expresión (p ^ el q´) ^ r
(a) usando a sólo los operadores v y ´,
(a) (p ^ q´) ^ r = (((p ^ q´) ^ r) ´) ´= ((p ^ q´) ´ v r´) = ((p´v q) v r´) ´= (p´v q v r´) ´
(b) usando a sólo los operadores NAND.
(b) (p ^ q´) ^ r = (p ^ (q NAND q)) ^ r
= ((p ^ (NAND q)) NAND r) NAND ((p ^ (q NAND q)) NAND r) = (((p NAND (q NAND q)) NAND (p NAND) (q NAND q))) NAND r) NAND (((p NAND (q NAND q)) NAND (p NAND (q NAND q))) NAND r).
9.6.-El operador del Booleana NOR es definido por p NOR q = (p v q) ´ de v. muestre que {NOR} es un juego completo de operadores.
P´= (p v p) ´ = p NORD p
2. p v q = ((p v q )´)´ = (p NORD q)´ = (p NORD q) NOR (p NOR q)
3. P ^ q = (p´v q´)´= p´ NOR q´= (p NOR p) NOR (q NOR q)
De, {NOR} is a complete set of operators.
Como una alternativa, note esop NAND q = (p ^ q) ´ = ((p´ v q´) ´) ´ = (p´ NORD q´) ´= ((p NOR p) NOR (q NOR q)) ´.
De, p NAND q = ((p NOR p) NOR (q NOR q)) NOR ((p NOR p)NOR (q NOR q)).
Subsecuentemente NAND puede expresarse en términos de NOR, y {NAND} es un juego completo de operadores, {NOR} también es un juego completo de operadores.
9.7. - Dibuje un mapa del karnaugh para la expresión del Booleana cuya la forma normal disyuntiva es p´q´r v p´qr v pqr´ v pqr y encuentra una versión simplificada de la expresión.
El mapa del karnaugh se muestra en figura
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|
pq |
p´q |
p´q´ |
pq´ |
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r |
1 |
1 |
1 |
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r´ |
1 |
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Esto contiene dos pares y para que
p´q´r v p´qr v pqr´v pqr = (p´q´r v p´qr) v (pqr´v pqr)
= p´r (q´v q) v pq (r´v r)
= p´r v pq.
9.8.-Haya la forma normal disyuntiva del f(p,q,r) de función de Booleana con la tabla de verdad mostrada en figura 9.20
|
p |
q |
r |
f(p, q, r) |
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0 |
0 |
0 |
1 |
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0 |
0 |
1 |
0 |
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0 |
1 |
0 |
1 |
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0 |
1 |
1 |
0 |
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1 |
0 |
0 |
0 |
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1 |
0 |
1 |
1 |
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1 |
1 |
0 |
0 |
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1 |
1 |
1 |
1 |
Dibuje un mapa del karnaugh y encuentre una versión simplificada de f(p,q,r).
f= p´q´r´ v p´qr´v pq´r v pqr
El mapa del karnaugh se muestra en figura
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pq |
p´q |
p´q´ |
pq´ |
|
r |
1 |
|
|
1 |
|
r´ |
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1 |
1 |
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Hay dos pares (uno oculto)
Simplificando da p´q´r´ v p´qr´= p´r´ y pq´r v pqr = pr.
Por consiguiente, f = p´r´v pr.
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Julián Pérez Gutiérrez